การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

เราได้ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง การเคลื่อนที่ในแนวโค้ง ( โพรเจกไทล์และวงกลม )มาแล้ว ในหัวข้อนี้จะศึกษาการเคลื่อนที่แบบสั่นและแบบแกว่ง เช่น การสั่นของสายกีตาร์

การสั่นของสปริง การแกว่งของลูกตุ้ม การแกว่งของชิ่งช้า วัตถุเหล่านี้จะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ำทาง

เดิมหลายครั้งโดยขณะเคลื่อนที่ออกไปถึงตำแหน่งหนึ่ง ก็จะหยุดชั่วขณะ แล้วก็จะเคลื่อนที่กลับไปสู่อีก

ทางหนึ่ง และเมื่อถึงอีกต าแหน่งหนึ่ง ก็จะหยุดชั่วขณะแล้วเคลื่อนที่กลับไปอีกทางหนึ่ง และเป็ นอย่างนี้

หลายครั้งจนในที่สุด ก็จะหยุดเพราะมีแรงต้านการเคลื่อนที่ตลอดเวลา

การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซำ้ทางเดิมโดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการ

เคลื่อนที่คงตัว เรียกว่า การเคลื่อนแบบพีริออดิก ( periodic motion ) หรือ เรียกว่า การเคลื่อนที่

แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ซึ่งเป็ นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่งที่มีค่าความถี่คงที่ เรียกย่อๆว่า SHM ( Simple Harmonic Motion )

ปริมาณต่างๆ ที่สำคัญของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ( SHM ) คือ

1. แอมพลิจูด ( Amplitude , A ) คือ ขนาดของการกระจัดของวัตถุที่วัดจากต าแหน่งสมดุลถึง

จุดปลายทั้งสองข้าง ซึ่งมีค่ามากที่สุดและมีค่าคงที่เสมอ

2. คาบ ( period , T ) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ มีหน่วยเป็ นวินาทีต่อรอบ

หรือ วินาที

3. ความถี่ ( frequency , f ) คือ จ านวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น

รอบต่อวินาที หรือ เฮิรตซ์ ( Hz )

การกระจัดทาง X ในรูปฟังก์ชันของเวลา t ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็ นสมการได้เป็น

สรุปได้ว่า สำหรับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของ

เวลา และเป็นฟังก์ชันรูปไซน์ หรือ เป็นฟังก์ชันรูปโคไซน์

รูปที่4

เราจะศึกษาการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายโดยกำหนดให้ทิศทางขวาเป็นบวกและทิศทางซ้ายเป็นลบ

• ในภาพที่ 4 (a) วัตถุมวล m อยู่ที่ตำแหน่งสมดุล มีการกระจัด x = 0 ซึ่งเป็นตำแหน่งที่สปริงมีความยาวตามปกติ ณ ตำแหน่งนี้สปริงจะไม่ส่งแรงมากระทำต่อวัตถุ (F = 0)

• 
  

ในภาพที่ 4 (b) วัตถุมวล m ผูกติดกับสปริง วางอยู่บนพื้นที่ซึ่งไม่มีแรงเสียดทาน ซึ่งสปริงถูกดึงด้วยแรง (F1) ให้ยืดออกจากความยาวปกติเป็นระยะกระจัด x = A สปริงจะออกแรงดึง (F) วัตถุมวล m กลับมา อยู่ในตำแหน่งสมดุล x = 0 เรียก แรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุนี้ว่า แรงดึงกลับ (Restoring force, F) ถ้า F เป็นแรงดึงกลับนี้จะได้ว่า

• 
  

  ในภาพที่ 4 (c) เมื่อปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่ตามแรงดึงกลับของสปริง วัตถุจะเคลื่อนที่มาทางซ้าย ขณะที่วัตถุผ่านตำแหน่ง x = 0 หรือตำแหน่งสมดุลนี้ แรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุจะมีค่าเป็นศูนย์ แต่อัตราเร็วของวัตถุ (v) จะมากที่สุด โดยมีทิศจากขวาไปซ้าย ความเร็วจึงมีค่าเป็นลบ 

เนื่องจากพื้นไม่มีแรงเสียดทาน และสปริงก็ไม่ออกแรงกระทำต่อวัตถุ ดังนั้นที่ตำแหน่ง x = 0 นี้ วัตถุจึงสามารถรักษาสภาพการเคลื่อนที่ตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตันไว้ได้ วัตถุจึงยังคงสามารถเคลื่อนที่ต่อไปทางซ้ายได้ 

• ในภาพที่ 4 (d) ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปทางซ้ายนั้น วัตถุก็จะผลักให้สปริงหดสั้นไปจากความยาวเดิมด้วย ดังนั้น สปริงจะพยายามออกแรงดันกลับ (ดึงกลับ) ไปกระทำต่อวัตถุ เพื่อให้ตัวเองกลับไปสู่ความยาวปกติอีก โดยขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปทางซ้ายมากที่สุด ความเร็วของวัตถุจะเป็นศูนย์ มีทิศของแรงดึงกลับจากซ้ายไปขวาหรือเป็นบวก เวกเตอร์ของการกระจัดของวัตถุมีทิศจากขวาไปซ้าย และมีขนาดเป็น A ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุขณะนี้จึงเป็น x = -A 

มีข้อน่าสังเกตว่า ขนาดของการกระจัดมากที่สุดของวัตถุไม่ว่าจะเป็นทางซ้ายหรือขวาจะเท่ากัน คือ เป็น A เนื่องจากมีแรงมากระทำต่อวัตถุเพียงแรงเดียว คือ แรงจากสปริง ซึ่งมีทิศไปทางขวา วัตถุจึงเคลื่อนที่กลับไปทางขวาด้วยอิทธิพลของแรงนี้

• ในภาพที่ 4 (e) วัตถุกลับมาที่ตำแหน่งสมดุลของสปริงอีกครั้งหนึ่ง เช่นเดียวกับในภาพที่ 4 (c) แต่ในขณะนี้วัตถุมีความเร็วมากที่สุดมีทิศไปทางขวาหรือมีค่าเป็นบวก วัตถุจึงยืดสปริงออกไป โดยยืดได้มากที่สุดถึงตำแหน่ง x = A ดังแสดงในภาพที่ 4 (f) ซึ่งเป็นตำแหน่งเดียวกันกับในภาพที่ 4 (b) 

ดังนั้น การเคลื่อนที่ของวัตถุจึงกลับไปกลับมาซ้ำทางเดิม คือ จาก 4 (b) → 4 (c) → 4 (d) → 4 (e) → 4 (b) (ตำแหน่งเดียวกับ 4 (f)) เป็นอย่างนี้เรื่อยไป จึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หรือ SHM.

รูปที่ 5 รูปที่ 6

1.การกระจัด (displacement) คือ ระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้โดยวัดจากตำแหน่งสมดุลไปจนถึงตำแหน่งของวัตถุ ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ในแนวระดับแทนด้วยสัญลักษณ์ x และเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ในแนวดิ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ y มีหน่วยเป็นเมตร (m) 

2.แอมพลิจูด (amplitude) คือ ระยะมากที่สุดที่วัตถุจะสามารถเคลื่อนที่ไปได้ โดยวัดจากตำแหน่งสมดุลไปจนถึงจุดปลาย มีค่าคงที่เสมอ  แทนด้วยสัญลักษณ์ A  มีหน่วยเป็นเมตร (m) 

อาจจะพิจารณาได้ว่า แอมพลิจูด ก็คือ การกระจัดที่มีค่ามากที่สุดนั่นเอง

3. คาบ (period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ แทนด้วยสัญลักษณ์ T มีหน่วยเป็นวินาทีต่อรอบหรือวินาที (s)

4. ความถี่ (frequency ) คือ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา แทนด้วยสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาที (s-1 , 1/s ) หรือเฮิรตซ์ (Hz)

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีลักษณะคล้ายกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม กล่าวคือ มีการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ำรอยเดิม มีการเคลื่อนที่แบบครบรอบ (Periodic motion) ดังนั้น การศึกษาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายจึงสามารถศึกษาได้จากเงาของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่งที่ตกกระทบไปยังระนาบในแนวดิ่งและในแนวระดับ กราฟการกระจัด กับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ หรือโคไซน์

รูปที่7

ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

รูปที่ 8

พิจารณาความเร็ว v ของวัตถุ Q ที่ตำแหน่งหนึ่งซึ่งทำมุม θ กับแกน +x เนื่องจาก Q มีการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร็ว v จึงอยู่ในแนวเส้นสัมผัสวงกลม (ลูกศรสีแดง) ซึ่งความเร็ว v เป็นความเร็วเชิงเส้นมีความสัมพันธ์กับความเร็วเชิงมุม ω ดังสมการ v = ωR ซึ่งในภาพ R = A ดังนั้น v = ωA เนื่องจาก A เป็นค่าการกระจัดที่มากที่สุด ค่าความเร็ว v = ωA จึงเป็นความเร็วสูงสุด vmax เมื่อพิจารณาความเร็วในแนวแกน x และแกน y โดยกำหนดให้ ทิศขึ้นและขวาเป็นบวก ส่วนทิศลงและซ้ายเป็นลบ จะได้ว่า vx = - vmaxsinθ และ vy = vmaxcosθ ตามลำดับ เมื่อแทนค่า vmax และ θ จะได้เป็น vx = - ωAsinωt และ vy = ωAcosωt ซึ่งสมการทั้งสองเป็นสมการความเร็วที่เป็นฟังก์ชันของเวลา

การสั่นของมวลติดปลายสปริง

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย